1、方法一:(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。
2、)在任意凸四边形ABCD中(如下图),作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)复数证明:用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
(资料图片仅供参考)
3、 首先注意到复数恒等式: (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b−d) ,两边取模,运用三角不等式得。
4、等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。
5、 四点不限于同一平面。
6、 平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
7、方法二:设ABCD是圆内接四边形。
8、 在弦BC上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。
9、 在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。
10、 因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD ~ △KBC。
11、 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD; 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA; 两式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA; 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。
12、证毕。
13、方法三:托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知:圆内接四边形ABCD,求证:AC·BD=AB·CD+AD·BC.证明:如上图,过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP.得AC:BC=AD:BP,AC·BP=AD·BC ①。
14、又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP.得AC:CD=AB:DP,AC·DP=AB·CD ②。
15、①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC.方法四:广义托勒密定理:设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n,则有:扩展资料:托勒密定理推广:托勒密不等式:凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。
16、简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,得不等式 AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD2、托勒密定理推论(1)任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
17、(2)托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆3、托勒密定理运用要点:(1)等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。
18、(2)四点不限于同一平面。
19、欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD参考资料来源:百度百科 -托勒密定理。
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